Нужна. Документы в Москве могут проверить в любой момент, в любом месте. И на границе на обратном пути неприятности будут, если не предъявите квиток о регистрации.
Но о регистрации лично вам волноваться не надо, и лично вам самому никуда ходить не надо. Вас должны зарегистрировать ваши друзья или родственники, к которым вы едите в гости. Если вы остановитесь в гостинице, то вас зарегистрирует администрация гостиницы.